- LG a
- LG b
Cho ba điểm phân biệt \[A, B, C.\]
LG a
Chứng minh rằng nếu có một điểm \[I\] và một số \[t\] nào đó sao cho \[\overrightarrow {IA} = t\overrightarrow {IB} + [1 - t]\overrightarrow {IC} \] thì với mọi điểm \[I\], ta có
\[\overrightarrow {I'A} = t\overrightarrow {I'B} + [1 - t]\overrightarrow {I'C} \]
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết \[\overrightarrow {IA} = t\overrightarrow {IB} + [1 - t]\overrightarrow {IC} \] thì với mọi điểm \[I\], ta có
\[\overrightarrow {II'} + \overrightarrow {I'A} \] \[ = t[\overrightarrow {II'} + \overrightarrow {I'B} ] + [1 - t][\overrightarrow {II'} + \overrightarrow {I'C} ] \]
\[ = t\overrightarrow {II'} + t\overrightarrow {I'B} + \left[ {1 - t} \right]\overrightarrow {II'} + \left[ {1 - t} \right]\overrightarrow {I'C} \] \[= t\overrightarrow {I'B} + [1 - t]\overrightarrow {I'C} + \overrightarrow {II'} \]
Suy ra \[\overrightarrow {I'A} = t\overrightarrow {I'B} + [1 - t]\overrightarrow {I'C} \]
LG b
Chứng tỏ rằng \[\overrightarrow {IA} = t\overrightarrow {IB} + [1 - t]\overrightarrow {IC} \] là điều kiện cần và đủ để ba điểm \[A, B, C\] thẳng hàng.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {IA} = t\overrightarrow {IB} + \left[ {1 - t} \right]\overrightarrow {IC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = t\left[ {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right] + \left[ {1 - t} \right]\left[ {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} } \right]\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = t\overrightarrow {IA} + t\overrightarrow {AB} + \left[ {1 - t} \right]\overrightarrow {IA} + \left[ {1 - t} \right]\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \left[ {t\overrightarrow {IA} + \left[ {1 - t} \right]\overrightarrow {IA} } \right] + t\overrightarrow {AB} + \left[ {1 - t} \right]\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \left[ {t + 1 - t} \right]\overrightarrow {IA} + t\overrightarrow {AB} + \left[ {1 - t} \right]\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IA} + t\overrightarrow {AB} + \left[ {1 - t} \right]\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow 0 = t\overrightarrow {AB} + \left[ {1 - t} \right]\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow t\overrightarrow {AB} + \left[ {1 - t} \right]\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{{t - 1}}{t}\overrightarrow {AC} \] [do \[t\ne 0\]]
\[\Leftrightarrow \] ba điểm \[A, B, C\] thẳng hàng.