- LG a
- LG b
Cho tam giác \[ABC.\]
LG a
Hãy xác định các điểm \[G, P, Q, R, S\] sao cho:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0;\\2\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 ;\\\overrightarrow {QA} + 3\overrightarrow {QB} + 2\overrightarrow {QC} = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {RA} - \overrightarrow {RB} + \overrightarrow {RC} = \overrightarrow 0 ;\\5\overrightarrow {SA} - 2\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow 0 \,\,;\,\,\,\,\,\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0\]
\[\Leftrightarrow \,\,G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].
\[2\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \]
\[\Leftrightarrow \,\,2\overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {PD} = \overrightarrow 0 \][\[D\] là trung điểm của cạnh \[BC\]].
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PD} = \overrightarrow 0 \]
Vậy \[P\] là trung điểm của trung tuyến \[AD\].
\[\overrightarrow {QA} + 3\overrightarrow {QB} + 2\overrightarrow {QC} = \overrightarrow 0\]
\[ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {QA} + \overrightarrow {QB} + 2[\overrightarrow {QB} + \overrightarrow {QC} ] = \overrightarrow {0\,} \]
\[\Leftrightarrow \,\,2\overrightarrow {QE} + 4\overrightarrow {QD} = \overrightarrow 0 \] [\[E\] là trung điểm cạnh \[AB, D\] là trung điểm của \[BC\]] \[ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {QE} + 2[\overrightarrow {QE} + \overrightarrow {ED} ] = \overrightarrow 0 \]
\[\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {EQ} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {ED} \].
\[\overrightarrow {RA} - \overrightarrow {RB} + \overrightarrow {RC} = \overrightarrow 0 \]
\[\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {RC} = \overrightarrow 0 \]
\[\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {CR} = \overrightarrow {BA} .\]
\[\begin{array}{l}5\overrightarrow {SA} - 2\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow 0\\ \Leftrightarrow \,\,5\overrightarrow {SA} - 2[\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} ] - [\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} ] = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\overrightarrow {AS} = - \overrightarrow {AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\end{array}\]
LG b
Với điểm \[O\] bất kì và với các điểm \[G, P, Q, R, S\] ở câu a], chứng minh rằng :
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OC} ;\\\overrightarrow {OP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {OB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {OC} \\\overrightarrow {OQ} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow {OA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OC} ;\\\,\overrightarrow {OR} = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \,\,;\\\overrightarrow {OS} = \dfrac{5}{2}\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OC} .\end{array}\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Xuất phát từ câu a], hãy viết mỗi vec tơ thành hiệu hai vec tơ có điểm đầu là O.
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
+ ]\,\,\,\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right] - 3\overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 3\overrightarrow {OG} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \\
+ ]\,\,\,2\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 2\left[ {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OP} } \right] + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OP} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} - 4\overrightarrow {OP} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 4\overrightarrow {OP} = 2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {OC} \\
+ ]\,\,\,\overrightarrow {QA} + 3\overrightarrow {QB} + 2\overrightarrow {QC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OQ} + 3\left[ {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OQ} } \right] + 2\left[ {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OQ} } \right] = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} - 6\overrightarrow {OQ} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 6\overrightarrow {OQ} = \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OQ} = \frac{1}{6}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \\
+ ]\,\,\,\overrightarrow {RA} - \overrightarrow {RB} + \overrightarrow {RC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OR} - \left[ {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OR} } \right] + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OR} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right] - \overrightarrow {OR} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OR} = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \\
+ ]\,\,\,5\overrightarrow {SA} - 2\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 5\left[ {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OS} } \right] - 2\left[ {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OS} } \right] - \left[ {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OS} } \right] = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \left[ {5\overrightarrow {OA} - 2\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} } \right] - 2\overrightarrow {OS} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 2\overrightarrow {OS} = 5\overrightarrow {OA} - 2\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OS} = \frac{5}{2}\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OC}
\end{array}\]