- LG a
- LG b
Cho elip \[[E]:{{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1.\]
LG a
Tính độ dài dây cung của [E] đi qua một tiêu điểm và vuông góc với trục tiêu [đoạn thẳng nối hai điểm của elip gọi là dây cung của elip, trục chứa các tiêu điểm gọi là trục tiêu của elip].
Lời giải chi tiết:
+ Ta có:\[{a^2} = 9,{b^2} = 1 \] \[\Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 9 - 1 = 8 \]
\[\Rightarrow c = 2\sqrt 2 \]
\[\Rightarrow {F_1}\left[ { - 2\sqrt 2 ;0} \right];\,{F_2}\left[ {2\sqrt 2 ;0} \right]\]
Đường thẳng đi qua tiêu điểm \[F_2\] và vuông góc trục tiêu có phương trình \[x = 2\sqrt 2 \]
Tọa độ giao điểm của đường thẳng với [E] thỏa mãn hệ phương trình:
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\sqrt 2 \,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\\
\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\,\,\left[ 2 \right]
\end{array} \right.\]
Thay [1] và [2] ta được:
\[{8 \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = {1 \over 9} \Leftrightarrow y = \pm {1 \over 3}.\]
Vậy \[{M_1}\left[ {2\sqrt 2 ;{1 \over 3}} \right];{M_2}\left[ {2\sqrt 2 ; - {1 \over 3}} \right]\]và độ dài dây cung cần tìm là:
\[{M_1}{M_2} \] \[= \sqrt {{{\left[ {2\sqrt 2 - 2\sqrt 2 } \right]}^2} + {{\left[ { - \frac{1}{3} - \frac{1}{3}} \right]}^2}} \] \[ = \sqrt {0 + \frac{4}{3}} = \frac{2}{3}\]
LG b
Tìm trên [E] điểm M sao cho \[M{F_1} = 2M{F_2}\], trong đó \[{F_1},{F_2}\]lần lượt là các tiêu điểm của [E] nằm bên trái và bên phải trục tung.
Phương pháp giải:
Sử sụng công thức tính bán kính qua tiêu: \[M{F_1} = a + \frac{c}{a}x,M{F_2} = a - \frac{c}{a}x\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& M{F_1} = a + {c \over a}x = 3 + {{2\sqrt 2 } \over 3}x \cr
& M{F_2} = a - {c \over a}x = 3 - {{2\sqrt 2 } \over 3}x \cr
& M{F_1} = 2M{F_2}\cr & \Leftrightarrow 3 + {{2\sqrt 2 } \over 3}x = 6 - {{4\sqrt 2 } \over 3}x \cr&\Leftrightarrow 2\sqrt 2 x = 3 \Leftrightarrow x = {{3\sqrt 2 } \over 4}. \cr} \]
Thay \[x = {{3\sqrt 2 } \over 4}\]vào phương trình elip ta được:
\[{2 \over {16}} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = {7 \over 8} \Leftrightarrow y = \pm {{\sqrt {14} } \over 4}.\]
Vậy \[{M_1}\left[ {{{3\sqrt 2 } \over 4};{{\sqrt {14} } \over 4}} \right];{M_2}\left[ {{{3\sqrt 2 } \over 4}; - {{\sqrt {14} } \over 4}} \right].\]