Đề bài
Cho tam giác đều \[BAC\] có cạnh bằng \[1\]. Gọi \[D\] là điểm đối xứng với \[C\] qua đường thẳng \[AB, M\] là trung điểm của cạnh \[CB.\]
a] Xác định trên đường thẳng \[AC\] một điểm \[N\] sao cho tam giác \[MDN\] vuông tại \[D\]. Tính diện tích tam giác đó.
b] Xác định trên đường thẳng \[AC\] điểm \[P\] sao cho tam giác \[MPD\] vuông tại \[M\]. Tính diện tích tam giác đó.
c] Tính côsin của góc hợp bởi hai đường thẳng \[MP\] và \[PD.\]
Lời giải chi tiết
[h.71].
Đặt \[\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a ; \overrightarrow {CB} = \overrightarrow b \].
Khi đó \[\overrightarrow {CD} = \overrightarrow a + \overrightarrow b ; \overrightarrow {CM} = \dfrac{{\overrightarrow b }}{2} ;\] \[ {\overrightarrow a ^2} = {\overrightarrow b ^2} = 1 ; \overrightarrow a .\overrightarrow b = \dfrac{1}{2}\].
a] Giả sử \[\overrightarrow {CN} = n\overrightarrow {CA} = n\overrightarrow a \]. Khi đó ta có
\[\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow a + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2} ;\] \[ \overrightarrow {ND} = \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CN} = [1 - n]\overrightarrow a + \overrightarrow b \].
Suy ra\[\begin{array}{l}\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {ND} = \left[ {\overrightarrow a + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}} \right]\left[ {[1 - n]\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right]\\ = [1 - n]{\overrightarrow a ^2} + \dfrac{{{{\overrightarrow b }^2}}}{2} + \left[ {1 + \dfrac{{1 - n}}{2}} \right]\overrightarrow a .\overrightarrow b \\ = 1 - n + \dfrac{1}{2} + \dfrac{{3 - n}}{4} = \dfrac{{9 - 5n}}{4}.\end{array}\]
Để tam giác MDN vuông tại D ta phải có \[\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \] hay \[n = \dfrac{9}{5}\].
Vậy \[\overrightarrow {CN} = \dfrac{9}{5}\overrightarrow a \].
Để tính diện tích tam giác MDN, ta tính bình phương độ dài hai cạnh MD và ND :
\[\begin{array}{l}M{D^2} = {\overrightarrow {MD} ^2} = {\left[ {\overrightarrow a + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}} \right]^2}\\ = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{4}.\\N{D^2} = {\overrightarrow {ND} ^2} = {\left[ { - \dfrac{4}{5}\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right]^2}\\ = \dfrac{{16}}{{25}} + 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{{21}}{{25}}.\end{array}\].
Vậy \[{S_{MDN}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{7}{4}.\dfrac{{21}}{{25}}} = \dfrac{{7\sqrt 3 }}{{20}}\].
b] Giả sử \[\overrightarrow {CP} = p\overrightarrow {CA} = p\overrightarrow a \]. Ta có \[\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {CP} - \overrightarrow {CM} = p\overrightarrow a - \dfrac{1}{2}\overrightarrow b \].
Khi đó \[\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MP} = \left[ {\overrightarrow a + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}} \right]\left[ {p\overrightarrow a - \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}} \right] \\= p - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{p}{4} = \dfrac{{5p - 2}}{4}.\]
Để tam giác PMD vuông tại M ta phải có \[\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MP} = \overrightarrow 0 \] hay \[p = \dfrac{2}{5}\], tức \[\overrightarrow {CP} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow a \].
Khi đó \[M{P^2} = {\overrightarrow {MP} ^2} = {\left[ {\dfrac{2}{5}\overrightarrow a - \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}} \right]^2}\\ = \dfrac{4}{{25}} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{{21}}{{100}}.\]
Vậy \[{S_{PMD}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{21}}{{100}}.\dfrac{7}{4}} = \dfrac{{7\sqrt 3 }}{{40}}\].
c] Theo trên, ta có \[\overrightarrow {MP} = \dfrac{{2\overrightarrow a }}{5} - \dfrac{{\overrightarrow b }}{2} ; \]
\[ \overrightarrow {PD} = \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CP} \]
\[= \overrightarrow a + \overrightarrow b - \dfrac{2}{5}\overrightarrow a = \dfrac{3}{5}\overrightarrow a + \overrightarrow b \].
Bởi vậy
\[\begin{array}{l}{\overrightarrow {MP} ^2} = \dfrac{4}{{25}} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{{21}}{{100}} ; \\ {\overrightarrow {PD} ^2} = \dfrac{9}{{25}} + 1 + \dfrac{3}{5} = \dfrac{{49}}{{25}}.\\\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {PD} = \dfrac{6}{{25}} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{{20}} - \dfrac{1}{2}\\ = - \dfrac{{21}}{{100}}.\end{array}\]
Gọi \[\alpha \] là góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD ta có
\[\cos \alpha = \dfrac{{|\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {PD} |}}{{|\overrightarrow {MP} |.|\overrightarrow {PD} |}}\\ = \dfrac{{21}}{{100}}:\left[ {\sqrt {\dfrac{{21}}{{100}}} .\sqrt {\dfrac{{49}}{{25}}} } \right]\\ = \dfrac{{\sqrt {21} }}{{10}}.\dfrac{5}{7} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{{14}}\].