Đề bài
Giả sử phương trình bậc hai \[a{x^2} + bx + c = 0\left[ {ac \ne 0} \right]\] có hai nghiệm là \[\tan \alpha \] và \[\tan \beta \]. Chứng minh rằng:
\[a.{\sin ^2}\left[ {\alpha + \beta } \right] + b.\sin \left[ {\alpha + \beta } \right]\cos \left[ {\alpha + \beta } \right] + c.{\cos ^2}\left[ {\alpha + \beta } \right] = c\].
Lời giải chi tiết
Ta có \[\tan \alpha + \tan \beta = - \dfrac{b}{a},\tan \alpha \tan \beta = \dfrac{c}{a}.\]
Nếu \[\cos \left[ {\alpha + \beta } \right] \ne 0\] thì vế trái của đẳng thức đã cho là
\[\begin{array}{l}a{\sin ^2}\left[ {\alpha + \beta } \right] + b\sin \left[ {\alpha + \beta } \right]\cos \left[ {\alpha + \beta } \right] + c{\cos ^2}\left[ {\alpha + \beta } \right]\\ = {\cos ^2}\left[ {\alpha + \beta } \right]\left[ {a{{\tan }^2}\left[ {\alpha + \beta } \right] + b\tan \left[ {\alpha + \beta } \right] + c} \right]\\ = \dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left[ {\alpha + \beta } \right]}}\left[ {a{{\tan }^2}\left[ {\alpha + \beta } \right] + b\tan \left[ {\alpha + \beta } \right] + c} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
Nhưng ta có \[\tan \left[ {\alpha + \beta } \right] = \dfrac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \dfrac{b}{{c - a}}\]
[để ý rằng \[\cos \left[ {\alpha + \beta } \right] \ne 0 \Leftrightarrow c \ne a\]] nên thay giá trị của \[\tan \left[ {\alpha + \beta } \right]\] vào biểu thức [*], sau khi đơn giản ta được biểu thức đó bằng c.
Nếu \[\cos \left[ {\alpha + \beta } \right] = 0\left[ { \Leftrightarrow \tan \alpha \tan \beta = 1 \Leftrightarrow a = c} \right]\] thì \[{\sin ^2}\left[ {\alpha + \beta } \right] = 1\], nên vế trái của đẳng thức đã cho bằng \[a{\sin ^2}\left[ {\alpha + \beta } \right] = a = c.\]