Cho parabol \[[P]\] có đường chuẩn \[\Delta \] và tiêu điểm \[F\]. Gọi \[M, N\] là hai điểm trên \[[P]\] sao cho đường tròn đường kính \[MN\] tiếp xúc với \[\Delta \]. Chứng minh rằng đường thẳng \[MN\] đi qua \[F.\]
Đề bài
Cho parabol \[[P]\] có đường chuẩn \[\Delta \] và tiêu điểm \[F\]. Gọi \[M, N\] là hai điểm trên \[[P]\] sao cho đường tròn đường kính \[MN\] tiếp xúc với \[\Delta \]. Chứng minh rằng đường thẳng \[MN\] đi qua \[F.\]
Lời giải chi tiết
[h.122].
Gọi \[I\] là trung điểm của \[MN\] còn \[M, I, N\] theo tứ tự là hình chiếu cuông góc của \[M, I, N\] trên \[\Delta \]. Khi đó
\[II' = \dfrac{1}{2}[MM' + NN']\]
\[= \dfrac{1}{2}[MF + NF]\] [1]
[do \[M, N \in [P]\]].
Vì đường tròn đường kính \[MN\] [tâm là \[I\]] tiếp xúc với \[\Delta \] nên \[II' = \dfrac{1}{2}MN\]. [2]
Từ [1] và [2] suy ra \9MN=MF+NF.\] Vậy \[M, F, N\] thẳng hàng.