Đề bài
a] Tính \[x = \cos \dfrac{{2\pi }}{5}\] bằng phương pháp hình học như sau:
Xét tam giác cân ABC với \[\widehat B = \widehat C = \dfrac{{2\pi }}{5}\], kẻ đường phân giác BD của tam giác đó. Từ tính chất \[\dfrac{{BC}}{{BA}} = \dfrac{{DC}}{{DA}}\] [h. 6.7] hãy suy ra \[4{x^2} + 2x - 1 = 0\].
b] Từ đó tính \[\cos \dfrac{\pi }{5},\sin \dfrac{\pi }{5},\tan \dfrac{\pi }{5}\].
c] Tính sin, côsin, tang của \[{18^0}\]
d] Viết \[6 = 36 - 30\], tính sin, côsin của \[{6^0}\]. Thử lại bằng má tính bỏ túi.
Lời giải chi tiết
a] Dễ thấy \[BC = BD = AD\], nên đặt \[BC = a,AB = b\] thì \[\cos \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{a}{{2b}}.\] [1]
Ta có \[\dfrac{{DC}}{{DA}} = \dfrac{{BC}}{{BA}}\] suy ra \[\dfrac{{b - a}}{a} = \dfrac{a}{b}\], tức là \[\dfrac{{1 - \dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{a}{b}.\] [2]
Từ [1] và [2] ta có \[\dfrac{{1 - 2\cos \dfrac{{2\pi }}{5}}}{{2\cos \dfrac{{2\pi }}{5}}} = 2\cos \dfrac{{2\pi }}{5}\] hay
\[4{\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{5} + 2\cos \dfrac{{2\pi }}{5} - 1 = 0\], tức là \[4{x^2} + 2x - 1 = 0\]. [3]
b] Giải phương trình [3], ta được \[x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}\] hoặc \[x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4}\] .
Từ đó \[\cos \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4} < 0\] [loại] hoặc \[\cos \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{4}.\] Suy ra
\[{sin\frac{\pi }{5} = \sqrt {\frac{{1 - \cos \frac{{2\pi }}{5}}}{2}} = \sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{8}} = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{4};}\]
\[{\tan \frac{\pi }{5} = \frac{{\sin \frac{\pi }{5}}}{{\cos \frac{\pi }{5}}} = \frac{{\frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{4}}}{{\frac{{\sqrt 5 + 1}}{4}}} = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt 5 + 1}} = \sqrt {5 - r\sqrt 5 .} }\]
c]
\[\begin{array}{l}\sin {18^0} = \sin \dfrac{\pi }{{10}} = \sin \left[ {\dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{5}} \right]\\ = \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \dfrac{\pi }{5}}}{2}} = \dfrac{1}{4}\sqrt {2\left[ {3 - \sqrt 5 } \right]} .\end{array}\]
\[\begin{array}{l}\cos {18^0} = \cos \dfrac{\pi }{{10}} = \cos \left[ {\dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{5}} \right]\\ = \sqrt {\dfrac{{1 + \cos \dfrac{\pi }{5}}}{2}} = \dfrac{1}{4}\sqrt {2\left[ {5 + \sqrt 5 } \right]} .\end{array}\]
\[\tan {18^0} = \dfrac{{\sin {{18}^0}}}{{\cos {{18}^0}}} = \sqrt {1 - \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}} .\]
d]
\[\begin{array}{l}\sin {6^0} = \sin \left[ {{{36}^0} - {{30}^0}} \right] = \sin \left[ {\dfrac{\pi }{5} - \dfrac{\pi }{6}} \right]\\ = \sin \dfrac{\pi }{5}\cos \dfrac{\pi }{6} - \cos \dfrac{\pi }{5}\sin \dfrac{\pi }{6}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \dfrac{\pi }{5} - \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{\pi }{5}\\ = \dfrac{1}{8}\left[ {\sqrt {6\left[ {5 - \sqrt 5 } \right]} - \left[ {\sqrt 5 + 1} \right]} \right]\left[ { \approx 0,1045} \right].\end{array}\]
\[\begin{array}{l}\cos {6^0} = \cos \left[ {{{36}^0} - {{30}^0}} \right] = \cos \left[ {\dfrac{\pi }{5} - \dfrac{\pi }{6}} \right]\\ = \cos \dfrac{\pi }{5}\cos \dfrac{\pi }{6} + \sin \dfrac{\pi }{5}\sin \dfrac{\pi }{6}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \dfrac{\pi }{5} + \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{5}\\ = \dfrac{1}{8}\left[ {\sqrt 3 \left[ {\sqrt 5 + 1} \right] + \sqrt {2\left[ {5 - \sqrt 5 } \right]} } \right]\left[ { \approx 0,9945} \right].\end{array}\]