Một đường thẳng đi qua tiêu điểm \[F[c ; 0]\] của elip \[[E]: \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\] \[[a>b>0]\] và cắt nó tại hai điểm \[A, B\]. Chứng minh rằng đường tròn đường kính \[AB\] không có điểm chung với đường chuẩn :\[x = \dfrac{a}{e}\].
Đề bài
Một đường thẳng đi qua tiêu điểm \[F[c ; 0]\] của elip \[[E]: \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\] \[[a>b>0]\] và cắt nó tại hai điểm \[A, B\]. Chứng minh rằng đường tròn đường kính \[AB\] không có điểm chung với đường chuẩn :\[x = \dfrac{a}{e}\].
Lời giải chi tiết
[h.126].
Gọi \[I\] là trung điểm của \[AB; A, B, I\] lần lượt là hình chiếu của \[A, B, I\] trên đường chuẩn \[{d_2}: x = \dfrac{{{a^2}}}{c}\].
Ta sẽ chứng minh:
\[II' > \dfrac{{AB}}{2} \Leftrightarrow AA' + BB' > AB\].
Ta có
\[AB = AF + BF = e.AA' + e.BB' \]
\[= e[AA' + BB'] < AA' + BB' = 2II'\] [do \[e