- LG câu a
- LG câu b
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, chứng minh:
LG câu a
Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
Phương pháp giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm \[a\],\[b\]:
\[ \displaystyle\displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \]
Dấu "=" xảy ra khi \[a = b\].
Lời giải chi tiết:
Gọi hình chữ nhật có chiều dài \[a\] và chiều rộng \[b\] [với \[a>b>0\]]
Các hình chữ nhật có cùng chu vi thì\[C = 2.[a + b]\] không đổi hay\[[a + b]\] không đổi.
Suy ra: \[\displaystyle{{a + b} \over 2}\] không đổi.
Diện tích của hình chữ nhật \[S=a.b\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
\[ \displaystyle \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \]
\[ \displaystyle\begin{array}{l}
\Leftrightarrow ab \le {\left[ {\dfrac{{a + b}}{2}} \right]^2}\\
\Leftrightarrow S \le {\left[ {\dfrac{{a + b}}{2}} \right]^2}
\end{array}\]
Dấu "=" xảy ra khi \[a=b.\] Hay hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.
Vậy để\[ {S_{\max }} = {\left[ {\dfrac{{a + b}}{2}} \right]^2}\] thì hình chữ nhật là hình vuông.
Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
[Chú ý: max là lớn nhất]
LG câu b
Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất.
Phương pháp giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm \[a\],\[b\]:
\[ \displaystyle\displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \]
Dấu "=" xảy ra khi \[a = b\].
Lời giải chi tiết:
Gọi hình chữ nhật có chiều dài \[a\] và chiều rộng \[b\] [với \[a>b>0\]]
Các hình chữ nhật có cùng diện tích \[S=a.b\] thì \[a.b\] không đổi.
Từ bất đẳng thức:
\[ \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \]
\[ \Leftrightarrow a + b \le 2\sqrt {ab} \]
\[ \Leftrightarrow 2.[a + b] \le 4\sqrt {ab} \]
\[ \Leftrightarrow C \le 4\sqrt {ab} \]
Dấu "=" xảy ra khi \[a=b\]
Vậy để\[{C_{\min }} = 4\sqrt {ab} \] thì hình chữ nhật là hình vuông.
Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất.
[Chú ý: min là nhỏ nhất]