- LG a
- LG b
- LG c
Viết phương trình chính tắc của hypebol [H] trong mỗi trường hợp sau
LG a
[H] có một tiêu điểm là [5, 0] và độ dài trục thực bằng 8;
Lời giải chi tiết:
[H] có một tiêu điểm là [5, 0] nên\[c = 5\]
2a=8 nên a = 4
\[\Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = 9 \Rightarrow b = 3\]
Vậy [H] có phương trình là: \[{{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 9} = 1.\]
LG b
[H] có tiêu cự bằng \[2\sqrt 3 \], một đường tiệm cận là \[y = {2 \over 3}x;\]
Lời giải chi tiết:
[H] có tiêu cự bằng \[2\sqrt 3 \] nên\[2c = 2\sqrt 3 \]hay \[c = \sqrt 3\]
\[{b \over a} = {2 \over 3} \Rightarrow b = {{2a} \over 3}\]
\[{c^2} = {a^2} + {b^2} = 3 \Rightarrow {a^2} + {{4{a^2}} \over 9} = 3\]
\[ \Leftrightarrow 9{a^2} + 4{a^2} = 27 \Leftrightarrow 13{a^2} = 27\]
\[\Rightarrow {a^2} = {{27} \over {13}};\]
\[{b^2} = {c^2} - {a^2}= 3 - {{27} \over {13}} = {{12} \over {13}}.\]
Vậy [H] có phương trình là: \[{{{x^2}} \over {{{27} \over {13}}}} - {{{y^2}} \over {{{12} \over {13}}}} = 1.\]
LG c
[H] có tâm sai \[e = \sqrt 5 \] và đi qua điểm \[[\sqrt {10} ;6].\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[e = {c \over a} = \sqrt 5 \Rightarrow {c^2} = 5{a^2}\]
\[ \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = 5{a^2} - {a^2}= 4{a^2}\,\,\,\,\,[1]\]
Giả sử: \[[H]:{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\]
Vì \[M\left[ {\sqrt {10} ;6} \right] \in [H]\]nên: \[{{10} \over {{a^2}}} - {{36} \over {{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 10{b^2} - 36{a^2} = {a^2}{b^2}\,\,\,[2]\]
Thay [1] vào [2] ta được: \[40{a^2} - 36{a^2} = {a^2}\left[ {4{a^2}} \right]\] \[\Leftrightarrow 4{a^2} = 4{a^4}\]
\[ \Rightarrow {a^2} = 1;{b^2} = 4\]
Vậy [H] có phương trình là: \[{{{x^2}} \over 1} - {{{y^2}} \over 4} = 1.\]