Đề bài
Cho parabol \[{y^2} = 2px.\] Tìm độ dài dây cung của parabol vuông góc với trục đối xứng tại tiêu điểm của parabol [dây cung của parabol là đoạn thẳng nối hai điểm của parabol].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Viết phương trình đường thẳng, tìm giao điểm với parabol suy ra khoảng cách.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[F\left[ {{p \over 2};0} \right]\]
Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua F và vuông góc với Ox.
Khi đó\[\Delta \] có phương trình \[x = {p \over 2}\]. Tọa độ giao điểm của\[\Delta \] với [P] thỏa mãn hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{p}{2}\\
{y^2} = 2px
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{p}{2}\\
{y^2} = 2p.\frac{p}{2}
\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{p}{2}\\
{y^2} = {p^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{p}{2}\\
y = \pm p
\end{array} \right.\]
Vậy các giao điểm là \[M\left[ {{p \over 2};p} \right]\]và \[N\left[ {{p \over 2}; - p} \right] \]
\[MN = \sqrt {{{\left[ {\frac{p}{2} - \frac{p}{2}} \right]}^2} + {{\left[ { - p - p} \right]}^2}}\] \[ = \sqrt {0 + 4{p^2}} = 2p\]