- LG a
- LG b
Cho đường tròn \[[C]:\,\,{x^2} + {y^2} = 4\]và điểm A[-2, 3]
LG a
Viết phương trình của các tiếp tuyến của [C] kể từ A.
Lời giải chi tiết:
Đường tròn [C] có tâm O[0 ; 0], bán kính R=2.
+ Đường thẳng Δqua A và nhận \[\overrightarrow n = \left[ {a;b} \right]\] làm VTPT có dạng
\[\eqalign{
& a[x + 2] + b[y - 3] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \,ax + by + 2a - 3b = 0 \cr} \]
Δlà tiếp tuyến của [C]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \,\,d[O\,;\,\Delta ] = R\cr & \Leftrightarrow \,\,\,{{|2a - 3b|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2 \cr
& \Leftrightarrow \,\,{[2a - 3b]^2} = 4[{a^2} + {b^2}] \cr
&\Leftrightarrow 4{a^2} - 12ab + 9{b^2} = 4{a^2} + 4{b^2}\cr &\Leftrightarrow \,\,5{b^2} - 12ab = 0 \cr
& \Leftrightarrow \,\,b[5b - 12a] = 0\cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
b = 0 \hfill \cr
12a = 5b \hfill \cr} \right. \cr} \]
Với b = 0, chọn a = 1 ta có tiếp tuyến \[{\Delta _1}\,\,:\,\,x + 2 = 0\]
Với \[12a=5b\], chọn \[a=5, b=12\] ta có tiếp tuyến \[{\Delta _2}:\,\,5x + 12y - 26 = 0\]
LG b
Tính các khoảng cách từ A đến tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu a] và khoảng cách giữa hai tiếp điểm đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi T, T là tiếp điểm của \[{\Delta _1}\,,\,{\Delta _2}\]với [C] . Ta có
\[AT = AT' = \sqrt {A{O^2} - {R^2}} \] \[= \sqrt {13 - 4} = 3\]
Gọi H là giao điểm của TT và AO, TH là đường cao của tam giác vuông ATO, ta có
\[\eqalign{
& {1 \over {T{H^2}}} = {1 \over {A{T^2}}} + {1 \over {T{O^2}}} \cr &= {1 \over 9} + {1 \over 4} = {{13} \over {36}} \cr
& \Rightarrow \,\,TH = {6 \over {\sqrt {13} }}\,\cr & \Rightarrow TT' = 2TH = {{12} \over {\sqrt {13} }} \cr} \]